1. Задача.
Небольшое тело, имеющее горизонтальную скорость V0, влетает в пространство между двумя параллельными вертикальными стенками.
1. Решение.
Ось Ох направим влево и горизонтально, Оу вертикально вниз. По оси Ох от удара до удара движение происходит равномерно, проекция скорости Vx = V0, при ударе направление горизонтальной скорости меняется на противоположное, ее модуль не меняется. Время между двумя ударами определяется t = d / V0. По оси Оу движение происходит без начальной скорости, ay = g. За время t шарик опускается по вертикали на расстояние h = g t2 / 2. Пока он по вертикали пролетает расстояние L, он успеет удариться о стенки [ L / h ] = [ L 2 V02 / g d2 ] раз.
2. Задача.
В системе, изображенной на рисунке,
2. Решение.
Поскольку тело массы М2 не должно опускаться или подниматься относительно М, то М2g = Т, где Т - модуль силы натяжения вертикальной нити. Так как по условию задачи нить невесома и нерастяжима, блок невесом, трения в нем нет, то величина силы натяжения нити одинакова по всей длине. Тело массы М1 тогда движется с горизонтальным ускорением М1 а = Т = М2 g, а = М2 g / М1. Тела М1 и М2 не должны двигаться относительно М, поэтому величина силы F должна быть такой, чтобы системе этих тел, имеющей массу М + М1 + М2 сообщить ускорение а = F / (М +М1 + М2) = М2 g / М1. Тогда сила F равна F = M2 g ( М + М1 + М2)/ М1.
3. Задача.
Кубик из пенопласта массой M = 100 г лежит на горизонтальном столе. Ребро кубика h = 10 см. Снизу кубик пробивает навылет вертикально летящая пуля массой m = 10 г. Скорость пули при входе в кубик V0 = 100 м/c, при вылете V = 95 м/c. Подпрыгнет ли кубик?
3. Решение.
Пусть Dt - время движения пули внутри кубика. В течение этого промежутка времени на пулю со стороны кубика действует сила сопротивления. В общем случае она зависит от скорости, с которой движется пуля. Но в данном случае скорость пули меняется незначительно при прохождении кубика (V0 = 100 м/с, V = 95 м/с), поэтому можно считать силу сопротивления F постоянной. Используя второй закон Ньютона, можно записать соотношение
(F + m g)Dt
= m(V0 - V).
Время движения пули внутри кубика можно найти, определив среднюю
скорость пули. Поскольку результирующая сила при движении пули внутри
кубика не меняется (она равна F + m g), то скорость
пули с течением времени меняется по линейному закону. Тогда среднее
значение скорости Vcp может быть найдено как
среднее арифметическое V0 и V, т.е.
Vcp = (V0+V)/2.
Отсюда
Зная Dt, можно найти величину
силы сопротивления F,
Таким образом, Dt =
10-3c, F = 50H.
Согласно третьему закону Ньютона, если кубик действует на пулю с силой F, то и пуля действует на него с такой же по величине, но противоположно направленной силой. Кубик сможет подскочить, если величина этой силы окажется больше силы тяжести. Поскольку F = 50 H, а Mg = 1 H, то кубик подскочит.
4. Задача.
Высадившись на полюсе некоторой планеты, космонавты обнаружили, что сила тяжести там составляет 0,01 земной, а продолжительность суток такая же, как на Земле. При исследовании планеты оказалось, что на ее экваторе тела невесомы. Определите радиус планеты.
4. Решение.
Для тела, которое покоится на экваторе, уравнение движения имеет вид
Rmw2 = m
g1 - N,
где N - сила реакции поверхности планеты,
g1 = 0.01·g - ускорение свободного падения
на этой планете, g - ускорение свободного падения на Земле.
Период обращения планеты по орбите T = 1 сутки (как и у Земли) и
связан с угловой скоростью w соотношением w = 2p/T.
Поскольку на экваторе тела невесомы, N = 0. Тогда
Следовательно
Небольшое тело, имеющее горизонтальную скорость V0, влетает в пространство между двумя параллельными вертикальными стенками.
1. Решение.
Ось Ох направим влево и горизонтально, Оу вертикально вниз. По оси Ох от удара до удара движение происходит равномерно, проекция скорости Vx = V0, при ударе направление горизонтальной скорости меняется на противоположное, ее модуль не меняется. Время между двумя ударами определяется t = d / V0. По оси Оу движение происходит без начальной скорости, ay = g. За время t шарик опускается по вертикали на расстояние h = g t2 / 2. Пока он по вертикали пролетает расстояние L, он успеет удариться о стенки [ L / h ] = [ L 2 V02 / g d2 ] раз.
2. Задача.
В системе, изображенной на рисунке,
2. Решение.
Поскольку тело массы М2 не должно опускаться или подниматься относительно М, то М2g = Т, где Т - модуль силы натяжения вертикальной нити. Так как по условию задачи нить невесома и нерастяжима, блок невесом, трения в нем нет, то величина силы натяжения нити одинакова по всей длине. Тело массы М1 тогда движется с горизонтальным ускорением М1 а = Т = М2 g, а = М2 g / М1. Тела М1 и М2 не должны двигаться относительно М, поэтому величина силы F должна быть такой, чтобы системе этих тел, имеющей массу М + М1 + М2 сообщить ускорение а = F / (М +М1 + М2) = М2 g / М1. Тогда сила F равна F = M2 g ( М + М1 + М2)/ М1.
3. Задача.
Кубик из пенопласта массой M = 100 г лежит на горизонтальном столе. Ребро кубика h = 10 см. Снизу кубик пробивает навылет вертикально летящая пуля массой m = 10 г. Скорость пули при входе в кубик V0 = 100 м/c, при вылете V = 95 м/c. Подпрыгнет ли кубик?
3. Решение.
Пусть Dt - время движения пули внутри кубика. В течение этого промежутка времени на пулю со стороны кубика действует сила сопротивления. В общем случае она зависит от скорости, с которой движется пуля. Но в данном случае скорость пули меняется незначительно при прохождении кубика (V0 = 100 м/с, V = 95 м/с), поэтому можно считать силу сопротивления F постоянной. Используя второй закон Ньютона, можно записать соотношение
| Dt = | h Vcp |
= | 2h V0+V |
. |
| F = | m(V0-V)(V0+V) 2h |
- mg. |
Согласно третьему закону Ньютона, если кубик действует на пулю с силой F, то и пуля действует на него с такой же по величине, но противоположно направленной силой. Кубик сможет подскочить, если величина этой силы окажется больше силы тяжести. Поскольку F = 50 H, а Mg = 1 H, то кубик подскочит.
4. Задача.
Высадившись на полюсе некоторой планеты, космонавты обнаружили, что сила тяжести там составляет 0,01 земной, а продолжительность суток такая же, как на Земле. При исследовании планеты оказалось, что на ее экваторе тела невесомы. Определите радиус планеты.
4. Решение.
Для тела, которое покоится на экваторе, уравнение движения имеет вид
Поскольку на экваторе тела невесомы, N = 0. Тогда
| 4p2Rm T2 |
= mg1. |
| R = | T2g 400p2 |
; R = 1.8·107m. |
